Để thuận tiện, người ta thường xây dựng quỹ đạo của một chất điểm P(t) = (X(t), Y(t) và Z(t)) bằng cách sử dụng tọa độ cực trong mặt phẳng X–Y. Trong trường hợp này, vận tốc và gia tốc của nó ở một dạng thuận tiện.

Nhớ lại rằng quỹ đạo của một chất điểm P được xác định bởi vector tọa độ P của nó được đo trong một khung tham chiếu cố định F. Khi chất điểm di chuyển, vector tọa độ P(t) dọc theo quỹ đạo của nó, đó là một đường cong trong không gian, được cho bởi:

P ( t ) = X ( t ) ı ^ + Y ( t ) ȷ ^ + Z ( t ) k ^ , {\displaystyle {\textbf {P}}(t)=X(t){\hat {\imath }}+Y(t){\hat {\jmath }}+Z(t){\hat {k}},}

với i, j và k lần lượt là vecto đơn vị dọc theo các trục X, Y và Z của khung tham chiếu F.

Xét một chất điểm P chỉ di chuyển trên bề mặt của hình trụ tròn R(t)=hằng số, có thể căn chỉnh trục Z của khung cố định F với trục của hình trụ. Khi đó, góc θ quanh trục này trong mặt phẳng X–Y có thể được sử dụng để xác định quỹ đạo như sau,

P ( t ) = R cos ⁡ θ ( t ) ı ^ + R sin ⁡ θ ( t ) ȷ ^ + Z ( t ) k ^ . {\displaystyle {\textbf {P}}(t)=R\cos \theta (t){\hat {\imath }}+R\sin \theta (t){\hat {\jmath }}+Z(t){\hat {k}}.}

Các tọa độ hình trụ cho P(t) có thể được đơn giản hóa bằng cách đưa vào các vector đơn vị xuyên tâm và tiếp tuyến,

e r = cos ⁡ θ ( t ) ı ^ + sin ⁡ θ ( t ) ȷ ^ , e θ = − sin ⁡ θ ( t ) ı ^ + cos ⁡ θ ( t ) ȷ ^ . {\displaystyle {\textbf {e}}_{r}=\cos \theta (t){\hat {\imath }}+\sin \theta (t){\hat {\jmath }},\quad {\textbf {e}}_{\theta }=-\sin \theta (t){\hat {\imath }}+\cos \theta (t){\hat {\jmath }}.}

và đạo hàm thời gian của chúng từ phép tính cơ bản:

d d t e r = e ˙ r = θ ˙ e θ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\textbf {e}}_{r}={\dot {\textbf {e}}}_{r}={\dot {\theta }}{\textbf {e}}_{\theta }} d d t e ˙ r = e ¨ r = θ ¨ e θ − θ ˙ e r {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\dot {\textbf {e}}}_{r}={\ddot {\textbf {e}}}_{r}={\ddot {\theta }}{\textbf {e}}_{\theta }-{\dot {\theta }}{\textbf {e}}_{r}} d d t e θ = e ˙ θ = − θ ˙ e r {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\textbf {e}}_{\theta }={\dot {\textbf {e}}}_{\theta }=-{\dot {\theta }}{\textbf {e}}_{r}} d d t e ˙ θ = e ¨ θ = − θ ¨ e r − θ ˙ 2 e θ {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\dot {\textbf {e}}}_{\theta }={\ddot {\textbf {e}}}_{\theta }=-{\ddot {\theta }}{\textbf {e}}_{r}-{\dot {\theta }}^{2}{\textbf {e}}_{\theta }} .

Với quy ước này, P(t) có dạng,

P ( t ) = R e r + Z ( t ) k ^ , {\displaystyle {\textbf {P}}(t)=R{\textbf {e}}_{r}+Z(t){\hat {k}},}

với R là hằng số trong trường hợp chất điểm chuyển động chỉ trên bề mặt của hình trụ có bán kính R.

Nói chung, quỹ đạo P(t) không bị ràng buộc nằm trên một hình trụ tròn, do đó bán kính R thay đổi theo thời gian và quỹ đạo của chất điểm trong tọa độ cực hình trụ trở thành:

P ( t ) = R ( t ) e r + Z ( t ) k ^ . {\displaystyle {\textbf {P}}(t)=R(t){\textbf {e}}_{r}+Z(t){\hat {k}}.}

Trong đó R, theta và Z có thể là các hàm có thể thay đổi liên tục theo thời gian và ký hiệu hàm bị giảm cho đơn giản. Vecto vận tốc VP là đạo hàm theo thời gian của quỹ đạo P(t), cho ra: V P = d d t ( R e r + Z k ^ ) = R ˙ e r + R e ˙ r + Z ˙ k ^ = R ˙ e r + R θ ˙ e θ + Z ˙ k ^ {\displaystyle {\textbf {V}}_{P}={\frac {d}{dt}}(R{\textbf {e}}_{r}+Z{\hat {k}})={\dot {R}}{\textbf {e}}_{r}+R{\dot {\textbf {e}}}_{r}+{\dot {Z}}{\hat {k}}={\dot {R}}{\textbf {e}}_{r}+R{\dot {\theta }}{\textbf {e}}_{\theta }+{\dot {Z}}{\hat {k}}} .

Tương tự, gia tốc AP là đạo hàm theo thời gian của vận tốc VP, được cho bởi:

A P = d d t ( R ˙ e r + R θ ˙ e θ + Z ˙ k ^ ) = ( R ¨ − R θ ˙ 2 ) e r + ( R θ ¨ + 2 R ˙ θ ˙ ) e θ + Z ¨ k ^ . {\displaystyle {\textbf {A}}_{P}={\frac {d}{dt}}({\dot {R}}{\textbf {e}}_{r}+R{\dot {\theta }}{\textbf {e}}_{\theta }+{\dot {Z}}{\hat {k}})=({\ddot {R}}-R{\dot {\theta }}^{2}){\textbf {e}}_{r}+(R{\ddot {\theta }}+2{\dot {R}}{\dot {\theta }}){\textbf {e}}_{\theta }+{\ddot {Z}}{\hat {k}}.}

Thuật ngữ − R θ ˙ 2 e r {\displaystyle -R{\dot {\theta }}^{2}{\textbf {e}}_{r}} diễn tả diễn tả tâm đường cong tại một điểm trên quỹ đạo, thường được gọi là gia tốc tâm. Thuật ngữ 2 R ˙ θ ˙ e θ {\displaystyle 2{\dot {R}}{\dot {\theta }}{\textbf {e}}_{\theta }} được gọi là gia tốc Coriolis.

Constant radius

If the trajectory of the particle is constrained to lie on a cylinder, then the radius R is constant and the velocity and acceleration vectors simplify. The velocity of VP is the time derivative of the trajectory P(t),

V P = d d t ( R e r + Z k ^ ) = R θ ˙ e θ + Z ˙ k ^ . {\displaystyle {\textbf {V}}_{P}={\frac {d}{dt}}(R{\textbf {e}}_{r}+Z{\hat {k}})=R{\dot {\theta }}{\textbf {e}}_{\theta }+{\dot {Z}}{\hat {k}}.}

The acceleration vector becomes:

A P = d d t ( R θ ˙ e θ + Z ˙ k ^ ) = − R θ ˙ 2 e r + R θ ¨ e θ + Z ¨ k ^ . {\displaystyle {\textbf {A}}_{P}={\frac {d}{dt}}(R{\dot {\theta }}{\textbf {e}}_{\theta }+{\dot {Z}}{\hat {k}})=-R{\dot {\theta }}^{2}{\textbf {e}}_{r}+R{\ddot {\theta }}{\textbf {e}}_{\theta }+{\ddot {Z}}{\hat {k}}.}

Chuyển động tròn

Each particle on the wheel travels in a planar circular trajectory (Kinematics of Machinery, 1876).[18]

Một trường hợp đặc biệt của quỹ đạo hạt trên một hình trụ tròn xảy ra khi không có chuyển động dọc theo trục Z

P ( t ) = R e r + Z 0 k ^ , {\displaystyle {\textbf {P}}(t)=R{\textbf {e}}_{r}+Z_{0}{\hat {k}},}

where R and Z0 are constants. In this case, the velocity VP is given by:

V P = d d t ( R e r + Z 0 k ^ ) = R θ ˙ e θ = R ω e θ , {\displaystyle {\textbf {V}}_{P}={\frac {d}{dt}}(R{\textbf {e}}_{r}+Z_{0}{\hat {k}})=R{\dot {\theta }}{\textbf {e}}_{\theta }=R\omega {\textbf {e}}_{\theta },}

where

ω = θ ˙ , {\displaystyle \omega ={\dot {\theta }},}

is the angular velocity of the unit vector eθ around the z axis of the cylinder.

The acceleration AP of the particle P is now given by:

A P = d d t ( R θ ˙ e θ ) = − R θ ˙ 2 e r + R θ ¨ e θ . {\displaystyle {\textbf {A}}_{P}={\frac {d}{dt}}(R{\dot {\theta }}{\textbf {e}}_{\theta })=-R{\dot {\theta }}^{2}{\textbf {e}}_{r}+R{\ddot {\theta }}{\textbf {e}}_{\theta }.}

The components

a r = − R θ ˙ 2 , a θ = R θ ¨ , {\displaystyle a_{r}=-R{\dot {\theta }}^{2},\quad a_{\theta }=R{\ddot {\theta }},}

are called, respectively, the radial and tangential components of acceleration.

The notation for angular velocity and angular acceleration is often defined as

ω = θ ˙ , α = θ ¨ , {\displaystyle \omega ={\dot {\theta }},\quad \alpha ={\ddot {\theta }},}

so the radial and tangential acceleration components for circular trajectories are also written as

a r = − R ω 2 , a θ = R α . {\displaystyle a_{r}=-R\omega ^{2},\quad a_{\theta }=R\alpha .}